施瓦兹不等式_施瓦兹

1、复变函数几何理论中具有深远影响的基本定理，它首先由H.A.施瓦兹所发现。

2、下面叙述的形式和它的经典证明是1912年由卡拉西奥多里所给出的。

【资料图】

3、设ƒ(z)在单位圆D内全纯,且│ƒ(z)│<1,若ƒ(0)=0，则|ƒ(z)|≤|z|和│ƒ┡(0)│≤1。

4、第一个关系式当z=0时等号成立。

5、除此之外,此两个关系式当且仅当ƒ(z)=ez（α是实数）时等号成立。

6、这个引理的简单几何意义是，如w=ƒ(z)映z=0为w=0，且单位圆 D 的像ƒ(D)含于w平面的单位圆内，则任一闭圆Dr：│z│≤r之像ƒ(Dr)含于w平面的闭圆│w│≤r内,且只当ƒ(z)=ez时,映射是将原圆绕原点旋转。

7、应用施瓦兹引理立即得到单位圆到自身的一一的共形映射是麦比乌斯变换τ(z)=e^(iα)*(z-z0)/(1-ω0z） ,(ω0是z0的共轭)，式中|z0|<1，α为一实数。

8、1916年,G.皮克注意到施瓦兹引理可以有一个在上述麦比乌斯变换下不变的形式，它可放弃ƒ(0)=0的条件。

9、设在D内考虑双曲度量，其线元素为dσz=︱dz︱/(1-︱z︱^2)，并定义可求长曲线у的双曲长度为L(γ)=∫2︱dz︱/(1-︱z︱^2)，D内两点的双曲距离ρ(z1,z2)是D内连结此两点的曲线的双曲长度的下确界，可测集E的双曲测度为 m(E)=∫∫4dxdy/[(1-︱z︱^2)^2].显然上述诸量在麦比乌斯变换下是不变的。

10、皮克的不变形式的施瓦兹引理叙述如下：映单位圆入自身的解析映射使得两点间的双曲距离，曲线的双曲长度和集合的双曲测度缩小，仅当映射是上述麦比乌斯变换时，这些量保持不变。

11、施瓦兹引理还有更为精致和反映曲率性质的一般形式，并在多复变函数论中得到相应的结果。

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